بحث عن المصفوفات هو موضوع علمي ينصب بشكلٍ رئيس في عالم الرياضيات، ولكنه يشمل العديد من المفاهيم العلمية، ويتعلق بالعديد من العلوم الأخرى، وهو ما يظهر بشكلٍ واضح في استخدامات المصفوفة، هذا وبالرغم من أن الكثير يرى أن الرياضيات علم تجريدي بعيد عن الواقع، إلا أنه يُستخدم بشكلٍ يومي في كافة مجالات الحياة.
مقدمة بحث عن المصفوفات
المصفوفة في الرياضيات، هي أحد أهم المفاهيم الأساسية والمستخدمة بشكلٍ كبير في العديد من الفروع بما فيها الجبر والهندسة، حيث إن علم الرياضيات هو عبارة عن مجموعة معارف تعتمد على الاستنتاجات المنطقية لدراسة الأرقام والأعداد وكذا الأشكال الهندسية، كما يهتم بتنظيم وتفسير البيانات والمعطيات، مما يجعل من الرياضيات وسيلة وأداة للتنظيم والتحليل، تستخدم في مختلف أنواع العلوم بما فيها الفروع التجريبية والعلوم الاجتماعية.[1]
بحث عن المصفوفات
كغيره من البحوث سواءًا كانت علمية أو أدبية، يشترط تقديم بحث عن المصفوفات في الرياضيات، اتباع الخطوات الرئيسة في كتابة البحوث المعتمدة عالميًا، وذلك من خلال التمهيد إلى الموضوع الرئيس من خلال مقدمة مختصرة، مرورًا بالعرض أو صلب الموضوع الذي يحتوي على فقرات متنوعة تخص الموضوع، وصولًا إلى الخاتمة التلخيصية، وذلك بالاعتماد على مراجع موثوقة ودقيقة علميًا.
تعريف المصفوفة
المصفوفة، أو باللغة بالإنجليزية “Matrix”، هي ترتيب وهمي لأعداد أو رموز داخل أعمدة وصفوف، موزعة على شكل مربع أو مستطيل، وتتكون كل مصفوفة من أبعاد معينة، وهي عبارة عن خطوط عمودية تسمى بأعمدة المصفوفة، وخطوط أفقية تسمى الصفوف، كما أن المكونات المرتبة داخل المصفوفة تسمى بالعناصر، أو المداخل، وهي من حيث التعريف الرياضي عبارة عن دالة رياضية خطية تستخدم في حل المعادلات الخطية.[2]
تاريخ المصفوفة الرياضية
يروي التاريخ أن أقدم استخدام لمبدأ المصفوفات في حل المعادلات ظهر ما بين 300 قبل الميلاد إلى 200 ميلادي، في نص علمي صيني يسمى الفصول التسعة في فن الرياضيات، ومن ثم نشر العالم الياباني سيكي تاكاكازو بحثًا علميًا عن المصفوفات، ثم ظهرت المصفوفة في ألمانيا في العام 1693، وصولًا إلى العالم الرياضيات الإنجليزي جيمس سيلفستر الذي اخترع مصطلح المصفوفة في العام 1848، ثم قام العالم أرثور كايلي بتقديم نظرية المصفوفات في عام 1858.[2]
شاهد أيضًا: ما هي اقدم العلوم
خصائص المصفوفات
في إطار تقديم بحث عن المصفوفات في الرياضيات من الضروري الوقوف عند خصائص ومميزات المصفوفة من الناحية الكتابية والرياضية، وهي كما يأتي:[3]
- عند تسمية المصفوفة في اللغة العربية يمكن استخدام أي حرف من حروف الأبجدية.
- في اللغة الإنجليزية يجب استخادم الأحرف الكبيرة حصرًا لتسمية المصفوفات.
- تحمل كل عناصر المصفوفة من حيث الترميز الحرف الذي تسمى به المصفوفة، متبوعًا برق العمود أو الصف.
- تُعرف المصفوفة حسب عدد الصفوف والأعمدة، بالشكل الآتي: اسم المصفوفة صف، عمود.
أنواع المصفوفات في الرياضيات
تٌقسم المصفوفات في الرياضيات إلى أنواع مختلفة حسب خصائصها الرياضية أو محتواها من العناصر، أو حتى طول أعمدتها، وصفوفها، وهو ما يمكن تلخيصه كما يأتي:[4]
- المصفوفة المستطيلة: أو “Rectangular matrix”، وهي عبارة عن مصفوفة تحتوي على عدد أعمدة أكبر من عدد الصفوف أو العكس.
- المصفوفة المربعة: أو بالإنجليزية “Square matrix”، وتتميز بعدد أعمدة يساوي عدد الصفوف.
- المصفوفة القطرية: أو “Diagonal matrix”، وهي مصفوفة مربعة تتمثل كل عناصرها في العدد صفر، بينما تأتي عناصر القطر الرئيس تحتوي على أعداد وقيم لا تساوي الصفر.
- مصفوفة الهوية: أو بالإنجليزية “Identity Matrix”، وتسمى أيضًا مصفوفة الوحدة، وهي مصفوفة مربعة، يتكون قطرها من مجموعة عناصر تساوي العدد واحد، بينما تساوي باقي العناصر الصفر.
- المصفوفة المثلثية العليا: “Upper Triangular Matrix”، وهي عبارة عن مصفوفة مربعة تتميز بكون عناصرها الموجودة تحت القطر الرئيس تساوي العدد صفر، بينما باقي العناصر تساوي أرقام مختلفة.
- المصفوفة المثلثية الدنيا: “Lower Triangular Matrix”، هي عبارة عن مصفوفة مربعة عكس المصفوفة المثلثية العليا، تأتي جميع العناصر الموجودة فيها أعلى القطر الرئيس مساويةً للصفر، بينما تأخذ باقي العناصر قيمًا مختلفة.
- مصفوفة العامود، أو مصفوفة الصف: أو “column/ row vector”، وهي مصفوفة مستطيلة تتميز بعمود أو صف واحد فقط.
- المصفوفة المتماثلة: بالإنجليزية “Symmetric Matrix”، وهي مصفوفة مربعة تتميز بكون القيمة الموجودة في تقاطع الصف س والعمود ع تساوي القيمة الموجودة في تقاطع الصف ع والعمود س.
- المصفوفة المتساوية: أو “Equal Matrix” وهي مصفوفة متساوية الأبعاد والعناصر.
- المصفوفة الهرميتية: أو “Hermitian Matrix”، وهي مصفوفة تحتوي على أعداد مركبة.
- المصفوفة المتعامدة: “Orthogonal Matrix”، وهي مصفوفة مربعة، تأتي كل مكوناتها متعامدة بما فيها كل الصفوف والأعمدة.
إيجابيات المصفوفات
كغيرها من الأدوات المستخدمة في العلوم، تمتلك المصفوفة إيجابيات وسلبيات، ومن أبرز مميزاتها الإيجابية نذكر ما ياتي:[5]
- في علم البرمجة والكمبيوتر، تسمح المصفوفة بتخزين وكتابة أكبر عدد من القيم.
- تسهل المصفوفات عمليات البحث وإجراء مختلف العمليات الحسابية.
- تسمح المصفوفات باقتصاد الذاكرة، وتخزين أكبر عدد ممكن من القيم والعناصر.
- تسهل المصفوفات الوصول إلى المعلومات المخزنة بطريقة منظمة وفي وقت قصير.
- تستخدم المصفوفة لمعالجة وترتيب البيانات والمعطيات.
- تعد المصفوفات الوحدة الأساسية والأولية لهياكل البيانات، بما فيها القوائم، والرسوم البيانية.
سلبيات المصفوفات
في رحلة صياغة بحث عن المصفوفات، تقتضي الأمانة العلمية الوقوف عند سلبيات وعيوب المصفوفة، والتي نذكر من أبرزها ما يأتي:[5]
- تشترط المصفوفة تحديد حجم الذاكرة بشكلٍ مسبق، مما يمنع إجراء تعديلات لاحقًا.
- تختص كل مصفوفة بتخزين نوع محدد من القيم، أي أنها لا تقبل إدراج بيانات مختلفة من حيث النوع والكم.
- في عالم البرمجة من الصعب إجراء عمليات الحذف والتعديل على القيم المدرجة ضمن المصفوفات.
شاهد أيضًا: الخوارزمية هي قائمه من التعليمات يتم اتباعها لحل مشكله معينه خطوه بخطوه
أهمية المصفوفات
تعد المصفوفة صيغة من صيغ الخوارزميات، وبالرغم من سلبياتها، فهي تستخدم في العديد من المجالات والميادين، ونذكر من أبرزها ما يأتي:[2]
- الفيزياء: تساعد المصفوفة في دراسة الظواهر الفيزيائية، كحركة الأجسام، وتحويل الطاقة، وكذا الميكانيكا، والتيار الكهربائي.
- الحساب: تسمح المصفوفات بتسهيل العمليات الحسابية في مختلف المجالات.
- الاقتصاد: تستخدم المصفوفة في ترتيب البيانات المالية، وتوضيح العلاقات الاقتصادية، وتنظيم أسهم البورصة.
- الاحصاء والاحتمال: حيث تسمح بجدولة البيانات، وترتيب احتمال ظهور الحوادث في الفضاء العيني.
- الألعاب الرقمية: وهي أساس عمل وتشغيل الألعاب الالكترونية، وذلك باستخدام مصفوفات ثلاثية الأبعاد.
- تشفير المعلومات: وتستخدم المصفوفات في تشفير وحماية المعطيات الشخصية، من خلال إدراج كلمات السر، وحفظ المعلومات السرية.
- الهندسة: حيث يقوم المهندس باستخدام مبادىء المصفوفة لرسم المباني وتقسيمها.
- الصور الرقمية: تساعد المصفوفات في تحسين دقة ونوعية الصور ومقاطع الفيديو.
- الجيولوجيا: حيث تساعد المصفوفات في رسم ورصد الهزات الأرضية.
- الكيمياء: تستخدم المصفوفات في تمثيل الروابط الكيميائية، وكذا التكوين الذري والداخلي للعناصر الكيميائية.
العمليات الحسابية على المصفوفات
تسمح المصفوفات بتسهيل العمليات الحسابية الأساسية والبسيطة، خاصةً عند تواجد عدد كبير من الأرقام والعناصر، ويتم ذلك من خلال القوانين والقواعد الآتية:[2]
- الجمع والطرح: وهو ما يشترط بدايةً أن تكون المصفوفات متساوية الحجم، ومن ثم تتم عملية الطرح أو الجمع.
- الضرب: ويتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض، شرط أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية، ثم ضرب كل عنصر من عناصر كل صف في كل عنصر مقابل له من كل عمود من الأعمدة في المصفوفة الثانية على الترتيب.
- الضرب القياسي: وهو نوع أبسط، حيث يتم من خلال ضرب عدد واحد في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
- القسمة: تتم قسمة المصفوفات، بضرب المصفوفة الأولى في معكوس المصفوفة الثانية.
شاهد أيضًا: بحث عن لغات البرمجة
الفرق بين معكوس المصفوفة ومحدد المصفوفة
يستدعي تقديم بحث عن المصفوفات تعريف معكوس المصفوفة، أو بالإنجليزية “Invertible matrix”، هو عبارة عن مصفوفة أخرى يكون محددها أكبر من الصفر، وحاصل ضربها في المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الهوية، أو الوحدة، وهي كما تم الذكر آنفًا عبارة عن مصفوفة مربعة، يتكون قطرها من مجموعة عناصر تساوي العدد واحد، بينما تساوي باقي العناصر الصفر، ويرمز لمعكوس المصفوفة س، بالمصفوفة س–1، بينما محدد المصفوفة، أو باللغة الإنجليزية “Matrix Determinant”، هو عدد حقيقي، يميز المصفوفات المربعة، ويرمز مثلًا لمحدد المصفوفة س بالرمز | س |.[6]
خاتمة بحث عن المصفوفات
تبدو كلمة مصفوفة للوهلة الأولى مفهومًا رياضيًا بحتًا، يستخدم في الدراسات التجريدية فقط، ولكنها وبعد البحث والتعمق تظهر في مختلف المجالات والعلوم، وهو ما يدعو إلى التأكيد على قيمة العلوم بشكلٍ عام ودورها الأساسي في تسهيل حياة البشر وتفسير الظواهر الطبيعية، حيث إن العلوم هي في الحقيقة حلقات مترابطة ومتكاملة تشكل أساس الحياة.
بحث عن المصفوفات هو موضوع علمي شامل، يتطلب الرجوع إلى المفاهيم الأساسية والبسيطة في علم الرياضيات، بما فيها تعريف الأعداد والأرقام، والتذكير بخصائص العمليات الحسابية البسيطة، بما فيها الخصائص الحسابية للصفر، ومفهوم القطر والصف والعمود.
المراجع
- ^
wikiwand.com , mathematics , 17/01/2022 - ^
wikiwand.com , Matrix , 17/01/2022 - ^
britannica.com , matrix , 17/01/2022 - ^
machinelearningmastery.com , Matrix Types in Linear Algebra for Machine Learning , 17/01/2022 - ^
thecrazyprogrammer.com , Advantages and Disadvantages of Array , 17/01/2022 - ^
sosmath.com , Determinant and Inverse of Matrices , 17/01/2022